0 序言
近期对半导体物理的众多核心概念进行复习，有许多新的感悟。
首先，纵观半导体物理（刘恩科，第8版）整本书，或者说无论哪个半导体物理的相关书籍，总是可以将所有内容总结为以下两个方面：
- 半导体的数学（物理）建模；
- 根据所建立的模型，从载流子浓度分析到电流组成。
对于其他的部分，例如PN结，MOS管，金半接触，光电半导体等相关内容，都是针对上述知识在具体器件层面的应用，属于半导体器件物理相关的内容。虽然工程应用中器件物理才是目的，但是学习好半导体物理是器件物理的基础。
在这里仅对半导体物理相关的内容进行一些梳理，并不涉及半导体器件物理（光电子）等内容。
1 半导体建模
1.1 能带论
对半导体进行建模，并不需要我们学习完整个固体物理课程，最终的目的是学习到能带论。能带论可以说是所有半导体器件物理分析的基石，也是器件设计的有力工具。通过能带，我们可以清晰地看出载流子运动过程中能量的分布情况。
但是如何理解能带论呢？或者说如何才能从高中知识逐渐深入到能带理论呢？我认为有两种不同的方法，由浅入深，由表及里。
第一种是利用电子的共有化运动和泡利不相容原理，简单地将能带看作电子能级在原子间距较小时的分立结果。这种方法十分符合简单，并且不涉及任何的数学推导，只要你接受了电子的能级理论和泡利不相容原理，就可以及其方便地接受这种理论。但是不涉及数学推导有一个致命弱点：我们无法给出能量的具体表达形式，也不好给出后续应用于载流子浓度分析的二级结论。所以这种方法只适合科普性质的入门，要真正学懂半导体物理还要走第二条路。
第二种是直接求解薛定谔方程，从而得到电子的$E-k$关系，从而得到电子的能带图。看到这里刚入门的同学可能要吓一跳，他们可能开始惊慌与自己并没有完整学习过量子力学，但是半导体物理中的量子力学仅涉及整个量子力学知识库中的一小部分。只要利用高等数学中的相关知识（求解微分方程）和接受一些简单概念（有些甚至是高中概念，只不过通过数学推导可以有更深层次的理解），同样可以将需要学习的知识全盘接受。
1.2 从薛定谔方程出发
2 从载流子到电流组成
2.1 载流子的统计分布（浓度）
要得到载流子浓度，核心在于求得半导体的费米能级。
费米能级是被电子占据概率为1/2时的能级，它反映了电子在各个能级之间的分布情况，或者说是电子填充能级水平高低的标志。我们通常使用$E_F$来表示费米能级。
导带电子浓度（对本征和非本征都适用）：
$$n = N_C \exp(- \frac {E_C-E_F}{k_BT})$$
价带空穴浓度（对本征和非本征都适用）：
$$p = N_V \exp(- \frac {E_F-E_V}{k_BT})$$
对于本征半导体，将此时的费米能级称为本征费米能级$E_i$，通过$n=p$可以求得$E_i$，可见它比禁带中线稍高一点点（$k_B T$一般而言比较小）。
$$E_i = \frac {1}{2} (E_C + E_V) + \frac {1}{2}k_B T \ln(\frac {N_V}{N_C})$$
此时的电子（空穴）浓度称为本征电子（空穴）浓度。
$$n_i = p_i = (N_CN_V)^{1/2} \exp(- \frac {E_g}{2k_BT})$$
通过代数运算可以证明，此时的n和p还可以写成下面的形式。同样的，下面的形式不仅对本征状态适用，对非本征状态依然适用，甚至在后续适用时下面的式子应用更加广泛：
$$n = n_i \exp(\frac {E_F-E_i}{k_BT}), p = n_i \exp(\frac {E_i-E_F}{k_BT})$$
2.2 漂移电流
2.3 扩散电流
扩散电流，顾名思义是载流子的扩散作用引起的电流，在半导体中我们通常仅关心非平衡少子的扩散（半导体的一端受到特定波长的光的持续照射，光生载流子持续产生）。分析扩散电流的最终目的是：通过求解非平衡少子$\Delta p(x)$的表达形式（N型半导体），就可以求出扩散电流的具体表达形式。
我们在这里仅考虑一维情况，应用菲克第一定律，单位时间内流出单位面积的粒子数：
$$S_p(x) = -D_p \frac {d\Delta p(x)}{dx}$$
式中，$D_p$称为扩散系数，表示非平衡少子扩散能力的大小。如果将这个式子乘以电荷量$q$，那么就可以得到电流密度$(J_p)_扩$。同理，对于P型半导体，我们同样可以获得非平衡少子（电子）$(J_n)_扩$的表达形式。
但是目前我们还没有获得一个方程，我们发现可以利用稳态构建一个方程：在稳态下，单位体积内注入的粒子数量和通过复合消失的粒子数量相等。
$$-\frac {dS_p(x)}{dx}=\frac {\Delta p(x)}{\tau}$$
现在我们要推导在单位体积内流入载流子的数量。假设存在一个一维晶体，横截面积为单位面积，在$x$处有流入的载流子，在$x+\Delta x$处有流出的载流子，则$\Delta x \rightarrow 0$时，根据积分的概念，流出这个晶体的载流子数量为：
$$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {S_p(x+\Delta x) - S_p(x)}{\Delta x} = \frac {dS_p(x)}{dx}$$
通过整理，我们有：
$$\frac {d^2 \Delta p(x)}{dx^2} - \frac {\Delta p(x)}{D_p\tau} = 0$$
令$L_p^2 = D_p\tau$，$L_p$称为扩散长度，则有：
$$\frac {d^2 \Delta p(x)}{dx^2} - \frac {\Delta p(x)}{L_p^2} = 0$$
接下来的套路就很简单了，给出通解，带入边界条件，给出具体形式。
实际情况下采用哪种边界条件，需要根据实际器件选择。实际器件中往往是三维情况，将二阶导数换成散度即可，其他推导过程类似，在这里不做赘述。
2.4 漂移和扩散的关系——爱因斯坦关系式
爱因斯坦关系式给出了在非简并条件下（电子浓度不太大）载流子的迁移率和扩散系数之间的数值关系。
$$\frac {D_p}{\mu_p} = \frac {k_0T}{q},\frac {D_n}{\mu_n} = \frac {k_0T}{q}$$
2.5 连续性方程
连续性方程描述当漂移和扩散同时存在时，少数载流子所遵循的方程。这在光电半导体器件中尤其常见。以N型半导体为例，我们最终需要获得少子浓度$p(x, t)$随时间的变化规律。在稳态下，$\frac {\partial p} {\partial t} = 0$，此时的方程称为稳态连续性方程。