1 德布罗意波

光具有“波粒二象性”，这是我们已经熟知的概念，它揭示了光既拥有波的性质，也拥有粒子的性质。那么它究竟是什么呢？这样既是又是的概念往往就是量子物理中难以理解的地方。博主的理解是，光是什么，取决于你分析的时候将其视为什么，你将其视为波，它就是波，你将其视为粒子，它就是粒子。

所以我们是否可以说：波就是粒子，粒子就是波？这是一个相当大胆的假设，德布罗意就做了这样的假设。总体来说，如果没有其他实验进行证明，德布罗意波就是一个假说，只是对前人工作的一种总结和推广（只不过后续有实验证明物质波可能真的存在）。所以作为学生，在学习阶段即使有万般不解，我们也暂时只能选择相信和接受。

德布罗意波$\Phi(x,t)$的表达形式为：

$$\Phi(x,t)=Ae^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}, \lambda = \frac {h} {p}, \vec p = \hbar \vec k$$

但是这个波是什么波呢？对于光（电磁波），我们尚且可以说它其实就是电场和磁场在空间中的分布规律，就像水波就是水在空间中的分布规律，那么物质波究竟是什么东西在空间中的分布规律呢？

苦思冥想，我联想到物质波可能和薛定谔方程引入的波函数$\Psi(x)$有关。通过量子力学的知识，这个波表示了某微观粒子在周期性势场中的概率信息（真正求概率时需要进行平方）。实际上二者之间通过时间因子可以相互换算（假设只考虑一维情况）：

$$\Phi(x, t) = A e^{ikx}e^{-i\omega t}= \Psi(x)e^{-i\omega t}$$

对于半导体物理，我们常常只关心半导体中的电子或者光子的状态。电子和光子有哪些“状态”呢？这不重要，对于工程而言，我们往往需要先确定我们关心的状态是什么，然后再想办法求解。对于电子而言，我么往往关心它在导体（半导体）中的能量（速度）；对于光波而言，我们往往关心它的传播路径，能量转移和传播模式（光纤）。

2 波函数

对于一维简谐波，我们可以用下面的公式进行描述：

$$y(x,t)=A sin(kx-\omega t + \varphi) , y(x,t)=A cos(\omega t-kx + \varphi)$$

式中的$\omega$就是角频率，由于它可以化简为频率$\upsilon$或者周期$T = 2\pi / \omega$，所以它表示了该简谐波在时间上的“周期”信息。使用傅立叶变换就可以将复杂的时域图像转化为频域图像，让我们可以一眼看出波中存在哪些频率分量，以及它们的强度。

类似地，我们也可以在空间中“照猫画虎”，创建出一个变量来表示波在空间中的“速度”信息，这个变量就是波数$k$。在数值上，波数描述了在$x$方向上的$2\pi$长度上（有些书中以单位长度1作为分母，此时$k = 1/ \lambda$）有几个完整的波，所以它的计算方式如下所示。我们将其和角频率$\omega$作比较，可以看到它们是类似的。

$$k = \frac {2\pi} {\lambda}, \omega = \frac {2\pi} {T}$$

上面介绍了一维时的波数的定义，不难发现$k$的方向和波传播的方向相同。所以我们可以定义一个矢量：波矢，它的大小就是波数的大小，它的方向就是波传播的方向。在三维情况中，波动方程可以推广为下面的形式（这里忽略了相位，因为相位在我们的分析中不重要）。

$$y(\vec{r},t)=A sin(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega t)=A cos(\omega t-\vec{k} \cdot \vec{r})$$

3 k-space 和能带图

通过这个波矢$\vec k$就可以构建一个三维空间，它由三个正交的基础矢量构成（倒格矢）。通过后面的学习可以知道，这个空间和晶体的倒格子空间是一致的，区别在于当电子在周期性势场中运动时，根据薛定谔方程的解可以得知$k$并不能取连续的值，而是只能取一系列三维的均匀分布的点。所以可以说k-space就是以倒格矢为基矢的离散的点空间。每一个k可以取值的点都代表了一个电子（波），同时k的大小也代表了波的“快慢”，k越大，波“抖动”地越快，能量就越高。

对于一维晶格，电子在一维周期性势场中的$E(k)$的表达式可以直接用公式求得，此时导带底和价带顶的$E(k)$曲线都是抛物线，同时也可以直观地看到一维布里渊区内部的E(k)关系。可以看到，我们只需要分析第一布里渊区内部，即从$k=-\pi/a$到$k=\pi/a$的$E(k)$曲线就可以通过周期性来获得所有的能带图形。这里的两个布里渊区边界上的点就可以看作高对称点。

但是对于三维晶格，情况会变得相当复杂。此时我们不得不依靠实验数据或者一些仿真工具对能带数据进行测量、计算和拟合。材料学中常用的方法是使用DFT（密度泛函理论），依靠在Linux平台上的VASP软件对晶体进行仿真和分析。通过VASP软件可以获得在布里渊区内部的高对称点沿着不同方向计算出的能带图形。根据三维能带图，可以获得固体的价带、导带、禁带宽度（band-gap）、能谷分布、直接/间接带隙情况。